Восьмеричная сиситема счисления находит применение в технике в основном как средство компактной записи двоичных чисел. В прошлом была достаточно популярна, но в последнее время практически вытеснена шестнадцатеричной системой, т.к. последняя лучше ложиться на архитектуру современных цифровых устройств.
Итак, основанием системы является число восемь 8 или в восьмеричной системе 10 8 - это значит что для изображения чисел используется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7). Здесь и далее маленькое число справа внизу от основной записи числа будет обозначать основание системы счисления. Для десятичной системы основание указывать не будем.
Ноль
- 0
;
Один
- 1
;
Два
- 2
;
...
и так далее…
...
Шесть
- 6
;
Семь
- 7
;
А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число восемь? В десятичной системе в подобной ситуации (когда закончились цифры) мы ввели понятие десятка, здесь же введем понятие "восьмерка" и скажем, что восемь - это одина восьмерка и ноль единиц. А это уже можно и записать - "10 8 ".
Итак, Восемь
- 10
8 (одна восьмерка, ноль единиц)
Девять
- 11
8 (одна восьмерка, одна единица)
...
и так далее…
...
Пятнадцать
- 17
8 (одна восьмерка, семь единиц)
Шестнадцать
- 20
8 (две восьмерки, ноль единиц)
Семнадцать
- 21
8 (две восьмерки, одна единица)
...
и так далее…
...
Шестьдесят три
- 77
8 (семь восьмерок, семь единиц)
Шестьдесят четыре
- 100
8 (одна "Шестьдесят четыре", ноль восьмерок, ноль единиц)
Шестьдесят пять
- 101
8 (одна "Шестьдесят четыре", ноль восьмерок, одна единица)
Шестьдесят шесть
- 102
8 (одна "Шестьдесят четыре", ноль восьмерок, две единицы)
...
и так далее...
...
Всегда, когда у нас исчерпался набор цифр для отображения следующего числа, мы вводим более крупные единицы счета (т.е. считаем восьмерками, шестьдесят четверками и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.
Рассмотрим число 5372 8 записанное в восьмеричной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: пять по пятьсот двенадцать, три по шестьдесят четыре, семь восьмерок и две единицы. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.
5372 8 = 5 *512+3 *64+7 *8+2 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.
Но ряд чисел 512, 64, 8, 1 есть не что иное, как целые степени числа восемь (основания системы счисления) и поэтому можно записать:
5372 8 = 5 *8 3 +3 *8 2 +7 *8 1 +2 *8 0
Подобным образом для восьмеричной дроби (дробного числа) например: 0.572 8 (Сто пятьдесят семь пятьсот двенадцатых), про него можно сказать, что оно содержит: пять восьмых, семь шестьдесят четвертых и две пятьсот двенадцатых долей. И его значение можно вычислить следующим образом:
0.572 8 = 5 *(1/8) + 7 *(1/64) + 2 *(1/512)
И здесь ряд чисел 1/8; 1/64 и 1/512 есть не что иное, как целые степени числа восемь и мы также можем записать:
0.572 8 = 5 *8 -1 + 7 *8 -2 + 2 *8 -3
Для смешанного числа 752.159 аналогичным образом можем записать:
752.364 = 7 *8 2 +5 *8 1 +2 *8 0 +1 *8 -1 +5 *8 -2 +9 *8 -3
Теперь, если мы пронумеруем разряды целой части любого числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение любого произвольного восьмеричного числа может быть вычислено по формуле:
N = d n 8 n +d n-1 8 n-1 +…+d 1 8 1 +d 0 8 0 +d -1 8 -1 +d -2 8 -2 +…+d -(m-1) 8 -(m-1) +d -m 8 -m
Где: n
- количество разрядов в целой части числа минус единица;
m
- количество разрядов в дробной части числа
d i
- цифра стоящая в i
-м разряде
Эта формула называется формулой поразрядного разложения восьмеричного числа, т.е. числа записанного в восьмеричной системе счисления. Но если в этой формуле число восемь заменить на некоторое натуральное число q , то мы получим формулу разложения для числа выраженного в системе счисления с основанием q :
N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m
С помощью этой формулы мы всегда можем вычислить значение числа записанного не только в восьмеричной системе счисления, но и в любой другой позиционной системе. О других системах счисления можно почитать на нашем сайте по следующим ссылкам.
Позиционная система счисления с основанием 8, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
- (octal notation) Система чисел, использующая для выражения чисел восемь цифр от 0 до 7. Так, десятичное число 26 в восьмеричной системе будет записано как 32. Не будучи столь популярной, как шестнадцатиричная система счисления (hexadecimal… … Словарь бизнес-терминов
- — Тематики электросвязь, основные понятия EN octal notation … Справочник технического переводчика
восьмеричная система счисления
восьмеричная система - aštuonetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. octal notation; octal number system; octal system; octonary notation vok. Achtersystem, n; oktales Zahlsystem, n; Oktalschreibweise, f; Oktalsystem, n rus. восьмеричная система … Automatikos terminų žodynas
Двенадцатеричная система счисления позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Существует другая система обозначения, где для недостающих цифр используют не A и B, а t от… … Википедия
- (hexadecimal notation) Числовая система, использующая десять цифр от 0 до 9 и буквы от A до F для выражения чисел. Например, десятичное число 26 записывается в этой системе как 1А. Числа шестидесятеричной системы широко используются в… … Словарь бизнес-терминов
Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия
Если мы обращаемся к восьмеричной системе счисления, то это означает, что можно использовать гораздо больше цифр, чем это принято в двоичной, но меньше, чем в десятичной, а именно можно оперировать восемью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - и не более.
Логика конвертирования десятичных чисел в восьмеричные (кодирование в восьмеричную систему счисления) совершенно идентична приведенной выше.
Более подробная информация - в разд. "Запись целых чисел в двоичной системе счисления" данной главы.
Действительно, в определенный момент цифры заканчиваются (наступает "кризис переходного периода").
Десятичное число "8" становится восьмеричным числом "10" ("восьмеричной десяткой"). Число "9" будет восьмеричным числом "11", число "10" - восьмеричным числом "12". И так далее до десятичного числа "15", которое в восьмеричном виде равно числу "17". А дальше?
Цифры снова кончились. Как будет представлено десятичное число "16" в восьмеричной системе счисления?
Но сумма "7 8 + 1" равняется "10" в восьмеричной системе счисления, а, следовательно, восьмеричный "десяток" необходимо складывать с "десятком", уже имеющимся, т. е. получается сумма, присутствующая в восьмеричной системе: "1 + 1 = 2". В результате получается, что:
Представим эту информацию в виде таблицы (табл. 4.4).
Таблица 4.4 . Соответствие десятичных и восьмеричных чисел.
| Десятичные числа | Восьмеричные числа | Десятичные числа | Восьмеричные числа |
|---|---|---|---|
| 0-7 | 0-7 | 25-63 | 31-77 |
| 8 | 10 | 64 | 100 |
| 9-15 | 11-17 | 128 | 200 |
| 16 | 20 | 256 | 400 |
| 17-23 | 21-27 | 512 | 1000 |
| 24 | 30 | 1024 | 2000 |
Но даже такие числа все-таки мало экономны, по крайней мере, их разрядность не уступает десятичной системе, поэтому в компьютерных технологиях применяется еще одна система счисления, которая называется шестнадцатеричной.
Позиционная система счисления с основанием 8, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - (octal notation) Система чисел, использующая для выражения чисел восемь цифр от 0 до 7. Так, десятичное число 26 в восьмеричной системе будет записано как 32. Не будучи столь популярной, как шестнадцатиричная система счисления (hexadecimal… … Словарь бизнес-терминов
восьмеричная система счисления - — Тематики электросвязь, основные понятия EN octal notation … Справочник технического переводчика
восьмеричная система счисления
восьмеричная система - aštuonetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. octal notation; octal number system; octal system; octonary notation vok. Achtersystem, n; oktales Zahlsystem, n; Oktalschreibweise, f; Oktalsystem, n rus. восьмеричная система … Automatikos terminų žodynas
Система счисления
Двенадцатиричная система счисления
Двенадцатичная система счисления - Двенадцатеричная система счисления позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Существует другая система обозначения, где для недостающих цифр используют не A и B, а t от… … Википедия
ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - (hexadecimal notation) Числовая система, использующая десять цифр от 0 до 9 и буквы от A до F для выражения чисел. Например, десятичное число 26 записывается в этой системе как 1А. Числа шестидесятеричной системы широко используются в… … Словарь бизнес-терминов
Позиционная система счисления - Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: урок введения нового материала в 8 классе.
Дидактическая цель урока: ознакомление учащихся с восьмеричной системой счисления, с переводом чисел из восьмеричной в десятичную систему счисления, и обратно, а так же с переводом из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно. Отработка навыков перевода из одной системы счисления в другую.
Развивающая цель урока : развитие умения рассуждать, сравнивать, делать выводы. Развитие памяти, внимательности, познавательного интереса к предмету с использованием соответствующих заданий.
Воспитательная: формирование самоконтроля у школьников.
Этапы урока:
- Организация начала урока – 2 мин.
- Проверка домашнего задания – 10 мин.
- Подготовка учащихся к усвоению новых знаний – 5 мин.
- Введение нового материала – 8 мин.
- Первичное закрепление нового материала – 5 мин.
- Контроль и самопроверка знаний – 10 мин.
- Информация о домашнем задании – 3 мин.
- Подведение итогов урока – 2 мин.
Структура урока:
- Проверка домашнего задания.
- Знакомство с записями восьмеричных чисел.
- Перевод целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную с проверкой.
- Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно.
- Информация о домашнем задании.
- Подведение итогов урока.
Средства обучения:
- Приложение операционной системы Windows XP-Калькулятор.
- Индивидуальная карточка учащегося.
- Алгоритм работы в приложении о.с. Windows XP-Калькулятор.
- Презентация.
- Карточка с заданием для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления.
- Карточка с заданиями для перевода из одной системы счисления в другую с помощью двоично-восьмеричной таблицы.
- Карточка с творческим заданием.
Ход урока
1 этап. Организация начала урока.
Цель этапа: подготовка учащихся к работе на занятиях.
Здравствуйте, ребята!
Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с восьмеричной системой счисления и отработаем навыки перевода из одной системы счисления в другую.
Получают индивидуальные карточки, которые подписывают и куда будут вносить ответы заданий.
| Ф.И. | ||
| №1 | №2 | №3 |
2 этап. Проверка выполнения домашнего задания.
Цель этапа: установление правильности и осознанности выполнения домашнего задания всеми учащимися, выявление пробелов и их коррекция.
Проверим выполнение домашнего задания с помощью стандартного приложения ОС Windows XP-Калькулятор.
Домашнее задание: переведите числа из двоичной системы счисления в десятичную и сделайте проверку.
Получают листы с алгоритмом работы в приложении Калькулятор, проверяют домашнее задание за ПК.
Ответы проверим с помощью презентации к уроку.
- 10 2 =2 10
- 11 2 =3 10
- 100 2 =4 10
- 101 2 =5 10
- 110 2 =6 10
- 111 2 =7 10
3 этап. Введение нового материала.
Цель этапа: обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний и способов действий, связей и отношений в объекте изучения.
Запишите тему сегодняшнего урока: «Восьмеричная система счисления».
Основание: 8
Алфавит цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Рассмотрим перевод целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную и выполним проверку.
Алгоритм перевода целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную.
Записать восьмеричное число в развернутой форме и вычислить ее значение.
10
21 8 =2*8 1 +1*8 0 =16+1=17 10
Выполним проверку.
Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в восьмеричную.
- Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа на 8 до получения результата строго меньше основания системы.
- Полученные остатки записать в обратной последовательности.
10
71 8 =7*8 1 +1*8 0 =56+1=57 10
4 этап. Первичное закрепление нового материала.
Цель этапа: установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала.
Задание №1 на первичное закрепление нового материала. Приложение 3
Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную и выполнить проверку.
210
114 8 =1*8 2 +1*8 1 +4*8 0 =64+8+4=76 10
Проверка:
Выбрать правильный ответ под соответствующей буквой и записать букву в индивидуальную карточку.
О) 84 10
У) 76 10
Е) 97 10
5 этап. Контроль и самопроверка знаний.
Цель этапа: выявление качества и уровня овладения знаниями и способами действий.
Мы научились переводить числа из одной системы в другую, а теперь рассмотрим способы переводов, которые не требуют от нас каких-либо вычислений. Для этого в тетради начертим таблицу, состоящую из двух столбцов. Число в 8-ой системе счисления соответствует тройке цифр двоичной системы счисления. Например, 0 8 =000 2 , 1 8 =001 2 , далее обратимся к проверяемому в начале урока домашнему заданию. Таблица легко заполняется.
Двоично-восьмеричная система счисления.
| 8 | 2 |
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
При переводе восьмеричного числа в двоичное заменяют каждую восьмеричную цифру на соответствующую тройку цифр из таблицы. Для обратной операции, то есть для перевода из двоичной в восьмеричную систему, двоичное число разбивают на тройки цифр, потом заменяют каждую группу одной восьмеричной цифрой.
Например:
714 8 =111 001 100 2
101 110 100 2 =564 8 .
Учащимся раздаются карточки с заданиями. После их решения, правильные ответы помещаются в индивидуальную карточку ученика.
Задания №2, №3 на контроль и самопроверку знаний. Приложение 4
Переведите числа из одной системы счисления в другую (с помощью двоично-восьмеричной таблицы).
2. Переведите число из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления.
ц) 1101001 2 ; р)101 011 010 2 ; в) 111001100 2 ;
3. Переведите из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.
а) 77 8 ; о) 64 8 ; в) 29 8 ;
Сдайте индивидуальные карточки и раздаточный материал. Проверим ответы с помощью слайда № 7 презентации к уроку.
Правильные ответы:
№2 р)101 011 010 2
Индивидуальная карточка примет вид:
| Ф.И. | ||
| №1 | №2 | №3 |
| У | Р | А |
Ученики получают раздаточный материал с творческим заданием. Даны координаты точек в разных системах счисления. Необходимо выполнить перевод координат в десятичную систему счисления, отметить и соединить точки на координатной плоскости.
Даны координаты точек:
1 (100 2 ,1 2)
2 (100 2 , 110 2)
3 (100 2 , 1000 2)
4 (10 8 ,10 8)
5 (6 8 ,7 8)
6 (10 8 ,6 8)
Выполните перевод чисел в десятичную систему счисления и в координатной плоскости поставьте и соедините все точки.
Ответ (в десятичной системе счисления):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| (4,1) | (4,6) | (4,8) | (8,8) | (6,7) | (8,6) |
Рисунок 1
6 этап. Информация о домашнем задании.
Цель этапа: обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
Переведите числа из восьмеричной системы счисления в двоичную, затем в десятичную систему счисления.
35 8 →А 2 →А 10
65 8 → А 2 →А 10
215 8 → А 2 →А 10
7 этап. Подведение итогов урока.
Цель этапа: дать анализ и оценку успешности достижения цели.
Если у вас в индивидуальной карте получилось слово: УРА, то вы получили «5».
Если справились с 2-мя заданиями, то оценка «4».
Если решили 1-о задание, то вы получили «3».
Сегодня на уроке мы познакомились с восьмеричной системой счисления, рассмотрели разные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Одни из способов требовали от нас решать задачи математическими методами, другие с привлечением компьютера, третьи не требовали от нас каких-либо вычислений.
