Презентация по математике на тему "признаки делимости чисел". Презентация по математике на тему "признаки делимости" Презентация на тему признаки делимости 6

Слайд 1

МОУ «Копьевская средняя общеобразовательная школа» Секция математики Признаки делимости чисел Авторы: Бадмаева Элиса, ученица 5Б класса, Писанова Екатерина, ученица 5Б класса Руководитель: Зубкова Лидия Ивановна, учитель математики Копьево, 2011 г.

Слайд 2

Признаки делимости чисел
Цель этой работы – познакомиться с признаками делимости, научиться определять делится число или нет не производя деление, применять свои знания в решении математических задач, используя признаки делимости. Признаки делимости играют в математике большую роль. Зная признаки делимости можно некоторые задачи решать устно. Признаки делимости можно применить при делении, при сокращении дробей, при нахождении общего знаменателя.

Слайд 3

Например:
найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11; сократите дробь: 259 1295 во время спортивного праздника его участники должны выстроиться в колонну по 18 человек в шеренге, а потом перестроиться по 12 человек в шеренге. Какое наименьшее число спортсменов нужно пригласить для участия в празднике? Это задания из заочной школы.

Слайд 4

Признаки делимости
Признак делимости - это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления

Слайд 5

Признак делимости на 10
Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.
Например: 3860 делится на 10, т.к. оно оканчивается цифрой 0 5678 239800 34670

Слайд 6

Признак делимости на 5
Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5. Например: 7385 делится на 5, т.к. оканчивается цифрой 5 9840 делится на 5, т.к. оканчивается цифрой 0 6748 34559 2375

Слайд 7

Признак делимости на 2
Если число оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8, то оно делится на 2.0, 2, 4, 6, 8.Например: 532 делится на 2, т.к. оно оканчивается цифрой 2 673 968 201 75694

Слайд 8

Признак делимости на 9
Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9 Например: 153 (1+5+3=9, 9 делится на 9, 153:9=17) 121 3589 8712 10701

Слайд 9

Признак делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Например: 375 делится на 3, т.к. 3+7=5=15 , 15 делится на 3, значит и 375 делится на 3 443 3612 679 3021

Слайд 10

Число делится на 4
Если на 4 делится двузначное число, образованное двумя последними цифрами. Например: 324 (324; 24:4=6) 325

Слайд 11

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7). 458 не делится на 7, т.к.45-2 · 8=29 546 делится на7,т.к.54-6 · 2=42

Слайд 12

Признак делимости на8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8. Например: 12000 234024

Слайд 13

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11 678934 не делится на 11 т.к. 6-7+8-9+3-4=-1 565445 делится на 11 т.к. 5-6+5-4+4-5=0

Слайд 14

Признак делимости на12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. 56424 делится на 12 т.к. 5+6+4+2+4=21 делится на три и 24 делится на 4 678933 не делится на 12 т.к. 33 не делится на 4,хотя 6+7+8+9+3+3=36 делится на 3

Слайд 15

Признак делимости на13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Слайд 16

Слайд 17

Признаки делимости на 14,15
Признак делимости на 14 Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7. Признак делимости на 15 Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.

В III веке до нашей эры александрийский ученный Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали решетом Эратосфена.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284= ; 220=), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.

Блез Паскаль. Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль () еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.

Признак Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число делится на 7, т.к. 2·6 + 8 ·2 + 1 ·3 +4 = 35, 35:7=5 (где 6 – остаток от деления 1000 на 7; 2 - остаток от деления 100 на 7, 3 - остаток от деления 10 на 7)

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы: 1 группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на 7, на 37, на 11 (1 признак). 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на 14.

Признаки делимости чисел Признаки делимости на 4. Число делится на 4 если 2 последние его цифры делятся на делится на 4, т.к. 56: 4 = 14 Признак делимости на 8. Число делится на 8 три его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на делится на 8, т.к. 952: 8 = 119

Признаки делимости на 25. Число делится на 25 число образованное его последними двумя цифрами делится на делится на 25, т.к. 75 делится на 25 Признаки делимости на 125. Число делится на 125 число образованное его последними тремя цифрами делится на делится на 125, т.к. 250: 125 = 2

Признак делимости на 7. Число делится на 7 результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на делится на 7, т.к. 36 – (2·4) = 28, 28: 7 = 4 Признак делимости на 13. Число делится на 13 число его десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, кратно делится на 13, т.к (4 ·5) = 104, 104: 13 = 8

Признаки делимости на способ. Число делится на 17 число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно делится на 17, т.к (3·12) = 2941; (1·12) = 306; 30 + (6·12) = 102; 10 + (2·12) = 34, 34: 17 = 2 2 способ. Число делится на 17 разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц кратна не делится на 17, т.к – (2·5) = 3285, 328 – (5·5) = 328 – 25 = 303, 30 – (3·5) = 15, 15 не делится на 17.

Признак делимости на 19. Число делится на 19 число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно делится на 19, т.к (2·6) = 76, 76: 19 = 4 Признак делимости на 23. Число делится на 23 число его сотен, сложенное с утроенным числом единиц, кратно делится на 23, т.к (3· 42) = 414; 4 + (3·14) = 46, 46: 23 = 2

Признак делимости на 11. Число делится на 11 сумма цифр с чередующимися знаками делится на делится на 11, т.к =11, 11:11=1 Признак делимости на 99. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп. Эта сумма делится на 99 само число делится на делится на 99, т.к = 198, 198: 99 = 2

Признак делимости на 101. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками. Эта сумма делится на 101 само число делится на делится на 101, т.к. 59 – = 101, 101:101 =1

Другие признаки делимости, следующие из двух признаков Признак делимости на 6. Число делится на 6 оно делится и на 2, и на 3. (456) Признак делимости на 12. Число делится на 12 оно делится и на 3, и на 4. () Признак делимости на 14. Число делится на 14 оно делится и на 2, и на 7. (364) Признак делимости на 15. Число делится на 15 оно делится и на 3, и на 5. (8 445)

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = Но учебников не может быть 29. Также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников. Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Я рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Задача 1. Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умножать числа "в уме". Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое- нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. "1210", немедленно выпалил Незнайка. "Ты неправ!" сказал, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа? Решение. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11, поскольку среди делителей числа 1210 дважды встречается простое число 11. Ответ. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11.

Задача 2. делится ли 3905 на 11. Решение. Цифры, которые стоят на нечетных местах - это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьим месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте) Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, неравна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на = 11. Ответ. Значит, 3905 делится на 11.

Решение. Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь. Ответ. Только на 7.

Заключение. В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости. Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000…, чему нашла подтверждение из дополнительной литературы. Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Из дополнительной литературы я нашла и решила задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

1 из 17

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

Исследовательская работа по математике Признаки делимости Выполнила: ученица 6-б класса Берсанова Анастасия Руководитель: Горшенина Е.А.

№ слайда 2

№ слайда 3

Цель работы: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе. Задачи исследования: 1.Изучить историю вопроса. 2.Повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, 100, 1000 изучаемые в школе. 3.Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15,17, 18, 19, 20, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 37, 41, 50, 59, 79, 99 и 101. 4.Изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел. 5.Систематизировать и обобщить признаки делимости натуральных чисел. 6.Рассмотреть применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

№ слайда 4

Предмет исследования: делимость натуральных чисел. Методы исследования: сбор информации, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ. Актуальность: При изучении на уроках математики темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, в особенности многозначное, получаем остаток, ошибаемся, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое. Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

№ слайда 5

1.Изучение признаков делимости. Признак делимости - алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Следствие из простейших свойств делимости: если сумма двух чисел и одно из слагаемых делится на некоторое число b, то другое слагаемое также делится на b. Теорема о делимости произведения. Если в данном произведении хоть один из сомножителей можно поделить на определенное число, то и все произведение будет делиться на это же число.

№ слайда 6

Признак делимости изучаемые в школе: Признак делимости на 2:Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается четной цифрой или нулем. Признак делимости на 3: Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Признак делимости на 5:Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, то есть если она 0 или 5. Признак делимости на 9:Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.

№ слайда 7

Признак делимости на 10, 100 и 1000 1. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается 0. 2. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается двумя последними нулями. 3. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда оно оканчивается последними тремя нулями.

№ слайда 8

2.Классификация признаков делимости. Признаки делимости можно разбить на три группы: - делимость по последним цифрам числа; - делимость по сумме цифр числа; - делимость составных чисел.

№ слайда 9

2.1. Признаки делимости по последним цифрам числа. Признак делимости на 4. Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две его цифры образуют число, делящееся на 4. Задача. Найдите шестизначное число х2014у, которое делится на 4 без остатка и цифры в его записи не повторяются. Решение: Так как число делится на 4, то последняя цифра может быть 0, 4 или 8. Значит последняя цифра 8, т.к. 0 и 4 уже есть. Первой цифрой могут быть 3, 5, 6, 7 и 9. Ответ: возможные числа 320148, 520148, 620148, 720148, 920148

№ слайда 10

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8. Задача. Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 8, произведение цифр которого равно 16. Решение: Так как число делится на 8, то три последних цифры должны составлять число кратное 8 (нуля в записи быть не может, т.к. произведение цифр будет равно нулю). Значит последние три цифры – это трехзначное число кратное 8, напрмер112, 128, 136, 144. 152. Произведение цифр должно быть равно 16, поэтому первой цифрой может 1 или 8. Ответ: возможные числа 1128, 1144, 8112.

№ слайда 11

2.2.Признаки делимости чисел по сумме цифр чисел Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Задача. Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 11, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. Решение: Наименьшие двухзначные числа, которые в сумме дают число кратное 11 это числа 11,22,33 и т.д. Но учитывая второе условие число 1122 не подходит, т.к. сумма цифр равна 6, а их произведение равно 4. Разность - 2. Рассмотрим пару чисел 11 и 33. Сумма цифр равна 8, а их произведение равно 9. Разность составляет 1. Ответ: возможные числа 3311, 1133, 3113, 1331.

№ слайда 12

2.3.Признаки делимости составных чисел. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число. Правила делимости чисел: Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

№ слайда 13

Признак делимости на 6. Число делится на 6, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Число 9384 делится на 6 так, как оно делится на 2 (оканчивается четной цифрой) и делится на 3 (сумма цифр числа 9+3+8+4=24, 2+4=6 делится на 3) Признак делимости на 15. Число делится на 15, когда оно делится на 3 и на 5. Число 1020 делится на 15, так как сумма всех цифр 1+ 2 = 3 делится на 3 и последняя цифра 0. Признак делимости на 18. Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9. Число 414 делится на 18,так как последняя цифра 4 четная и сумма цифр 4 + 1 + 4 = 9 делится на 9.

«Простые и составные числа» - Устная работа. В математике предложил свой способ для составления таблицы простых чисел. Истинные утверждения. Составное число 15 15= 3 ? 5 Составное число 24 24=2 ? 3 ? 4. Историческая справка. Составные числа. Числа - близнецы. Тема урока: Выясните истинность утверждений. Все нечетные числа являются простыми.

«Признак делимости чисел» - Признак делимости на 4. Найди наименьшее число. Признак делимости на 11. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0. Угадайте число. Какие из чисел делятся на 5. Найди наименьшее натуральное число. Числа, которые делятся на 8. Сумма. Запиши множество чисел. Последняя цифра.

«Решето Эратосфена» - Сколько столетий уже искали - нет! Немного истории об Эратосфене. Но - как ни странно - ничего подобного: формулы нет! Заключение. Решето Эратосфена. Другим учителем Эратосфена в Александрии был философ Лизний. Нет такой формулы, а Решето есть. Никто не может сказать. Что такое Решето Эратосфена?

«Наименьшее общее кратное чисел» - Числа. Математический диктант. Настроимся на работу. Общее кратное. Какое число называют наименьшим общим кратным. Определение. Наименьшее натуральное число. План нахождения НОК. Закрепляем изученное. Наименьшее общее кратное. Два теплохода. Диктант. Найдём НОК.

«Делители и кратные числа» - Лютик. Сложение и вычитание. Декоративные растения. Общепринятое название. Л.Н. Толстой. Панда. Нахождение дроби от числа. Выполните действия. Решите уравнения. Секвойя. Делители и кратные. Краткое условие к задаче. Имя автора. Туристы. Делители. Сложение и вычитание смешанных чисел. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

«Простые числа в математике» - Определение. Историческая справка. Простые и составные числа. Решение задач. Исследование. Устный счёт. Решето Эратосфена. Даны числа. Тест. Числа, которые имеют только два делителя.

Всего в теме 18 презентаций

Урок-презентация на тему: Признаки делимости на 2,3,5,9,10

Кобелева Ксения Евгеньевна, учитель математики МБОУ "СОШ№56"

Описание работы: Очень интересная форма урока - это урок-презентация, или урок-представление.
Активная роль при проведении урока-презентации принадлежит учителю.
Основа урока – это изложение нового материала, иллюстрируемое рисунками, простыми и анимированными схемами, анимационными и видео фильмами. Поиск материалов к уроку проводится заранее. Все подобранные материалы объединяются, чаще всего при помощи программы PowerPoint , в общую презентацию. В ходе урока такая презентация может быть продемонстрирована как с помощью мультимедийного проектора, так и на отдельных компьютерах.
Презентация предназначена для учителей математики, работающих с учащимися 6 класса. Разработку можно использовать на уроках (изучение нового материала).
Цели урока:
- сформулировать признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10;
- научиться применять признаки при решении задач
Задачи урока
- организовать работу по углублению и закреплению знаний о признаках делимости чисел на 2,3,5,9 и 10.
- развивать логическое мышление, внимание, речь.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала:
5. Рефлексия.
6. Домашнее задание.

Ход урока

1.Организационный момент
Учитель сообщает цели и задачи урока

2.Актуализация опорных знаний
Учитель задаёт вопросы, ребята отвечают.

Ответы на вопросы:
1). Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.
Пример. Число 12 имеет шесть делителей: 1,2,3,4,6,12.
2) Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а
Пример.Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных, первые пять чисел кратных 8 это 8,16,24,32,40....

Устно.
1). 0,2+0,02=0,22
2). 0,7*3=2,1
3). 0,5+0,5*3=2
3.Изучение нового материала
Учитель объясняет новый материал
Учащиеся записывают признаки делимости с примерами со слайдов №4,5,6,7,8

4.Закрепление нового материала
ребята выполняют задания для закрепления изученного материала

Ответы:
1.а) 222,1000,400806.
б) 555,190,345.
в) 20,3450,340000
г) 21,234517, 459

2.а)На 100 делятся:23000, 560500, 100, 8508500, 1010000.
На 100 делятся:23000,1010000
б)Если запись натурального числа оканчивается двумя 0, то число делится на 100 без остатка.
Если запись натурального числа оканчивается тремя 0, то число делится на 1000 без остатка.

5.Рефлексия
Учитель сообщает, что урок окончен. И прежде чем задать вам домашнее задание, нужно проанализировать урок одним из представленных на доске рисунком:

6.Домашнее задание
Учитель говорит задания на дом(с пояснением), которые представлены на слайде,
ребята записывают в дневник домашнее задание

Спасибо за внимание!

Презентация на тему: Признаки делимости на 2,3,5,9,10